斜率的傳遞函數(shù)：次諧波振蕩的理論解釋

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斜率的傳遞函數(shù)：次諧波振蕩的理論解釋

眾所周知，在固定頻率的峰值電流模式控制的降壓轉換器中，電感電流連續(xù)，占空比大于50%時，會發(fā)生次諧波（低諧波）振蕩，并且在近來幾乎所有電源用IC中搭載斜率補償電路作為對策。

這一篇雖然稍微偏離導出DC/DC轉換器的傳遞函數(shù)的主題，但因對理解次諧波振蕩的理論解釋非常重要，所以這里進行解釋。

電流模式降壓轉換器的線圈（電感）電流波形如圖10。這里，將某時間的電流值標為In,將1周期后的電流值標為In+1。

此時，導通時間用tON(n)表示，關斷時間用tOFF(n)表示，導通時線圈電流的傾斜度用m1表示，關斷時線圈電流的傾斜度用m2表示。

使用它們，并用In+1來表示In的話，便生成公式3-15。

電源廠

在這里，m1用公式3-16表示，此時，m2可以用公式3-17來表示。

下圖11是圖10的PWM輸入波形。電流感應增益是RS的話，剛導通時的PWM輸入則是RSIn。

次諧波振蕩的理論解釋

此外，tON的時間段增加的電流為m1tON(n)，因此PWM輸入的峰值電壓VC可以用公式3-18來表示。

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此時，公式3-15的tOFF(n)可以變換成公式3-19。在這里，T是指周期。

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根據(jù)公式 3-18 計算 tON(n)，并將它帶入公式3-15計算的話，就可計算出公式3-20。

｛In+1 – In｝是等比數(shù)列，因此不發(fā)生次諧波振蕩的條件是此等比數(shù)列n → ∞，收斂為0。也就是說，以下公式3-21就是條件。

電源廠

此外，在公式3-21中代入公式3-16和公式3-17的話，就能計算出以下條件公式3-22。

因而，占空比D為1/2、小于50%是不產(chǎn)生次諧波振蕩的條件，符合開頭的表述，占空比大于50%的話，就能導出次諧波振蕩的理論解釋。

開關電源峰值電流模式次諧波振蕩探討

DC-DC開關電源因體積小，重量輕，效率高，性能穩(wěn)定等優(yōu)點在電子、電器設備，家電領域得到了廣泛應用，進入了快速發(fā)展期。DC-DC開關電源采用功率半導體作為開關，通過控制開關的占空比調(diào)整輸出電壓。其控制電路拓撲分為電流模式和電壓模式，電流模式控制因動態(tài)反應快、補償電路簡化、增益帶寬大、輸出電感小和易于均流等優(yōu)點而被廣泛應用。電流模式控制又分為峰值電流控制和平均電流控制，峰值電流的優(yōu)點為：1)暫態(tài)閉環(huán)響應比較快，對輸入電壓的變化和輸出負載的變化瞬態(tài)響應也比較快;2)控制環(huán)易于設計;3)具有簡單自動的磁平衡功能;4)具有瞬時峰值電流限流功能等。但是峰值電感電流可能會引起系統(tǒng)出現(xiàn)次諧波振蕩，許多文獻雖對此進行一定的介紹，但都沒有對次諧波振蕩進行系統(tǒng)研究，特別是其產(chǎn)生原因和具體的電路實現(xiàn)，本文將對次諧波振蕩進行系統(tǒng)研究。

1 次諧波振蕩產(chǎn)生原因

以PWM調(diào)制峰值電流模式開關電源為例(如圖1所示，并給出了下斜坡補償結構)，對次諧波振蕩產(chǎn)生的原因從不同的角度進行詳細分析。

電源廠

對于電流內(nèi)環(huán)控制模式，圖2給出了當系統(tǒng)占空比大于50%且電感電流發(fā)生微小階躍△厶時的電感電流變化情況，其中實線為系統(tǒng)正常工作時的電感電流波形，虛線為電感電流實際工作波形?？梢钥闯觯?)后一個時鐘周期的電感電流誤差比前一個周期的電感電流誤差大，即電感電流誤差信號振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定;2)振蕩周期為開關周期的2倍，即振蕩頻率為開關頻率的1/2，這就是次諧波振蕩名稱的由來。圖3給出了當系統(tǒng)占空比大于50%且占空比發(fā)生微小階躍AD時電感電流的變化情況，可以看出系統(tǒng)同樣會出現(xiàn)次諧波振蕩。而當系統(tǒng)占空比小于50%時，雖然電感電流或占空比的擾動同樣會引起電感電流誤差信號發(fā)生振蕩，但這種振蕩屬于衰減振蕩。系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

前面定性分析了次諧波振蕩產(chǎn)生的原因，現(xiàn)對其進行定量分析。針對圖1，圖4給出了占空比擾動引起電感峰值電流誤差信號變化情況，其中Vc為誤差運放的輸出信號，當功率管MO導通即電感電流線性上升時，Vc隨之增加，反之當功率管M0關斷時，Vc隨之減小。從圖4可以看出當占空比在連續(xù)2個時鐘脈沖下存在不對稱時，系統(tǒng)將出現(xiàn)次諧波振蕩。現(xiàn)推導△Vc與△IL的關系，占空比擾動△D引起電感電流與誤差運放輸出電壓的變化值分別如式(1)和(2)所示，由式(1)和(2)可推導出Vc與△IL的關系如式(3)所示：

電源適配器

式中：T為開關周期;m1為峰值電流上升斜率;m2為峰值電流下降斜率絕對值;七代表采樣電阻。

由于次諧波振蕩頻率為開關頻率的1/2，因此在1/2開關頻率處的電壓環(huán)路增益將直接影響電路的穩(wěn)定性。現(xiàn)推導圖1的電壓環(huán)路增益，在誤差運放輸出端疊加斜坡補償后，設誤差電壓從△Vc變?yōu)椤鱒e，從而可推出△Vc與△Ve的關系，如式(4)所示。由式(3)和(4)可得式(5)，在穩(wěn)態(tài)時可推出式(6)，將式(6)代入式(5)消去m1，得式(7)：

電源廠

式中：m為下斜坡斜率;2表示次諧波振蕩周期是開關頻率的2倍。

從圖4可以看出△IL是周期為2T的方波，則第1個次諧波振幅應乘以4/π。假設負載電容為C，則從誤差運放輸出端到電源輸出端的小信號電壓增益為

電源適配器

設誤差運放電壓增益為A，則電壓外環(huán)環(huán)路增益為

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由環(huán)路穩(wěn)定性條件可知：在l/2開關頻率處，環(huán)路相位裕度為零，此時若環(huán)路增益大于l，系統(tǒng)就會發(fā)生次諧波振蕩，因此誤差運放的最大增益為：

電源適配器

由式(8)可以明顯看出，誤差運放的最大增益是占空比D和斜坡補償斜率m的函數(shù)，歸一化的誤差運放最大增益與D和m的關系如圖5所示?？梢钥闯觯簃=O(無補償)時，由于運放增益不能小于O，當占空比大于或等于50%時，系統(tǒng)就會出現(xiàn)次諧波振蕩;m=一m2/2時，D=100%才出現(xiàn)次諧波振蕩，但在實際電路中D<100%時就會出現(xiàn)振蕩;m=一m2時，誤差運放最大增益與占空比無關。當繼續(xù)增大m時，對環(huán)路的穩(wěn)定性影響不大，但過補償會影響系統(tǒng)瞬態(tài)響應特性。

上文研究了電感電流信號變化波形對次諧波振蕩產(chǎn)生的原因及解決辦法，現(xiàn)從s域(或頻域)角度對其進行更深入的研究。設采樣電感電流i，通過采樣電阻Rs轉化成電壓，i(k)表示第k時鐘下的電流擾動量，△Ve(k+1)為第k+1時刻的電壓控制擾動量，得采樣保持的離散時間函數(shù)：

電源適配器

由式(10)可知當沒有斜坡補償，且m11，表示有1個極點在單位圓之外，此時電流環(huán)不穩(wěn)定。將H(z)轉化為s域傳遞函數(shù)：

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式中s表示頻率。esT可用PadE可用Pade進行二階近似：

電源適配器

式中Qs=2/[π(2/α-1)]，即阻尼系數(shù)為1/Qs=[π(m1-m2+2m)]/[2(m1+m2)]。式(13)即為電流環(huán)傳遞函數(shù)，斜坡補償前，當m1(m2-m1)/2即m>max[(m2-m1)/2]=m2/2時，Qs大于0，此時電流環(huán)傳遞函數(shù)的極點將出現(xiàn)在左半平面，此時系統(tǒng)也不一定穩(wěn)定，只有保證電流環(huán)具有足夠的相位裕度時，系統(tǒng)才穩(wěn)定。當m2>m>m2/2時，系統(tǒng)雖穩(wěn)定，但此時還是會出現(xiàn)振鈴電流，只有當m=m2即阻尼系數(shù)為π/2時，系統(tǒng)才能在一個周期內(nèi)消除振鈴電流，從而獲得非常好的瞬態(tài)響應。當m>m2時，雖然電流環(huán)相位裕度增加，但其帶寬變小，即出現(xiàn)過補償現(xiàn)象，此時會影響系統(tǒng)的響應速度。

2 斜坡補償方式及電路實現(xiàn)

前文從幾個方面研究了次諧波振蕩產(chǎn)生的原因，并且指出斜坡補償能防止系統(tǒng)出次諧波振蕩，現(xiàn)研究補償方式及其具體電路實現(xiàn)。開關電源斜坡補償分為上斜坡補償與下斜坡補償2種方式。圖6為下斜坡補償原理，給出了下斜坡補償時占空比大于50%的電感峰值電流波形(電流微小擾動作為激勵信號)。與圖2相比，僅Ve從水平直線改為下斜坡。從圖6可以看出，引入斜坡補償后，電流誤差信號每經(jīng)過一個時鐘周期，幅度成比例衰減，最后消失。圖7為上斜坡補償原理，給出了占空比大于50%的電感峰值電流波形。其補償原理就是在電感峰值電流a上疊加上斜坡補償電流b，形成檢測電流c，使占空比小于50%，穩(wěn)定系統(tǒng)。由于上斜坡補償電路實現(xiàn)相對簡單，一般采用上斜坡補償。

對于斜坡補償，斜率越大，振蕩衰減越快，但補償斜率過大，會造成過補償。過補償會加劇斜坡補償對系統(tǒng)開關電流限制指標的影響，從而降低系統(tǒng)的帶載能力;另一方面，過補償會影響系統(tǒng)瞬態(tài)響應特性。通常選擇斜坡補償斜率需根據(jù)需要折中考慮。對于Buck和Flyback轉換器，補償斜坡一般取峰值電流下降斜率m2即Vout/L，由于輸出電壓恒定，所以補償值便于計算并恒定;對于Boost電路，補償斜坡也一般取峰值電流下降斜率m2，即(Vout-Vin)/L但由于輸入電壓隨電網(wǎng)變化，從而要求補償值跟隨輸入電壓的變化，此時若為了電路設計簡單，強迫斜坡斜率固定，則可能出現(xiàn)過補償或欠補償現(xiàn)象，降低電路性能并導致波形畸變。

斜率的傳遞函數(shù)

因Buck與Flyback轉換器斜坡補償原理電路實現(xiàn)基本相同，因此本文只給出了一種上斜坡補償?shù)腇lyback斜坡補償電路(圖8所示)。圖9為本文第二作者提出的一種升壓型轉換器自調(diào)節(jié)斜坡補償電路。采用Hspice仿真軟件分別對圖8和圖9進行仿真，仿真結果分別如圖10和圖11所示。圖10的振蕩器頻率為100 kHz。m1為檢測電流曲線，其從0慢慢上升到40μA。虛線a,b和c代表具有不同斜率的斜坡補償信號，線A，B和C分別為疊加后的曲線。從圖10可看出：通過改變電阻R5和R4的比值，可以得到具有不同斜坡的補償信號。圖11中，Vsense為電感上的峰值電流流過檢測電阻所產(chǎn)生的電壓，Vslope為經(jīng)上斜坡補償后的檢測電流流過檢測電阻所產(chǎn)生的電壓。從圖11可以看出，不同的輸入電壓對應不同的補償斜坡，并且斜坡變化與(Vout-Vin)的變化成正比即達到了自調(diào)節(jié)功能。

次諧波振蕩的理論解釋